آموزش ریاضی هشتم فصل اول صفحه ۳ | جمع و تفریق اعداد صحیح

دانش‌آموزان در صفحه ۳ فصل اول ریاضی هشتم با یکی از مهم‌ترین مباحث اعداد صحیح روبه‌رو می‌شوند: جمع و تفریق عددهای مثبت و منفی. بیشتر اشتباهات این قسمت نه به خاطر سخت بودن محاسبات، بلکه به دلیل تشخیص نادرست علامت‌ها اتفاق می‌افتد. ممکن است دانش‌آموز بداند ۴۳ و ۲۹ را چگونه جمع کند، اما نداند وقتی هر دو عدد منفی هستند جواب چه علامتی دارد. دسته‌بندی اعداد، حذف پرانتزها و رعایت اولویت عملیات نیز از نکات اصلی این صفحه هستند.

در این آموزش، صفحه ۳ ریاضی هشتم فصل اول را مرحله‌به‌مرحله بررسی می‌کنیم. علاوه بر رسیدن به جواب تمرین‌ها، یاد می‌گیریم چرا هر روش درست یا نادرست است و چطور می‌توان بعضی عبارت‌ها را بدون محاسبات طولانی حل کرد. اگر قوانین اعداد مثبت و منفی را در همین بخش به‌خوبی یاد بگیرید، ادامه فصل اول ریاضی هشتم بسیار ساده‌تر خواهد شد.

بسته کامل ریاضی هشتم

ویدئوی آموزش صفحه ۳ ریاضی هشتم

نکات مهم این آموزش

• در جمع دو عدد هم‌علامت، قدرمطلق‌ها را جمع می‌کنیم و علامت مشترک را نگه می‌داریم.
• در جمع دو عدد مختلف‌العلامت، قدرمطلق کوچک‌تر را از بزرگ‌تر کم می‌کنیم.
• علامت جواب در اعداد مختلف‌العلامت، علامت عددی است که قدر مطلق بزرگ‌تری دارد.
• برای جابه‌جا کردن عبارت‌های دارای تفریق، ابتدا تفریق را به جمع عدد منفی تبدیل کنید.
• اگر ضرب و جمع در یک عبارت وجود داشته باشند، ابتدا ضرب انجام می‌شود.

آموزش کامل صفحه ۳ ریاضی هشتم

قبل از حل تمرین‌ها؛ قانون علامت‌ها را یاد بگیریم

قبل از رفتن سراغ سؤال‌های کتاب، این جدول را به خاطر بسپارید:

حالت	روش محاسبه	مثال
مثبت + مثبت	عددها را جمع می‌کنیم	۵ + ۳ = ۸
منفی + منفی	قدرمطلق‌ها جمع و جواب منفی می‌شود	−۵ + (−۳) = −۸
مثبت + منفی	قدرمطلق‌ها را از هم کم می‌کنیم	۸ + (−۳) = ۵
منفی + مثبت	قدرمطلق‌ها را کم و علامت عدد بزرگ‌تر را انتخاب می‌کنیم	−۸ + ۳ = −۵
دو عدد قرینه	حاصل صفر است	−۷ + ۷ = ۰

یک روش ساده برای به خاطر سپردن

اگر علامت‌ها مثل هم باشند، عددها با هم جمع می‌شوند.

اگر علامت‌ها متفاوت باشند، قدرمطلق عددها از یکدیگر کم می‌شود.

اشتباه رایج

بعضی دانش‌آموزان فکر می‌کنند هرجا علامت منفی دیدند باید عددها را از هم کم کنند. این روش درست نیست.

برای مثال:

−۷ + (−۲)

چون هر دو عدد منفی هستند:

۷ + ۲ = ۹

پس:

−۷ + (−۲) = −۹

نکته طلایی

هنگام حل سؤال، قبل از انجام محاسبه فقط چند ثانیه به علامت دو عدد نگاه کنید. این کار بسیاری از اشتباهات را حذف می‌کند.

سؤال ۵ صفحه ۳ ریاضی هشتم

عبارت موردنظر این است:

−۴۳ + ۳۷ − ۲۹

چند دانش‌آموز این عبارت را با روش‌های متفاوت حل کرده‌اند. سؤال می‌خواهد بررسی کنیم آیا این روش‌ها درست هستند یا خیر.

روش اول؛ ابتدا منفی ۴۳ و منفی ۲۹

برای اینکه محاسبه روشن‌تر شود، عبارت را این‌طور می‌نویسیم:

−۴۳ + ۳۷ + (−۲۹)

حالا می‌توانیم دو عدد منفی را کنار هم قرار دهیم:

−۴۳ + (−۲۹)

هر دو عدد منفی هستند. پس قدرمطلق آن‌ها را جمع می‌کنیم:

۴۳ + ۲۹ = ۷۲

در نتیجه:

−۴۳ + (−۲۹) = −۷۲

حالا داریم:

−۷۲ + ۳۷

علامت دو عدد متفاوت است. پس:

۷۲ − ۳۷ = ۳۵

چون قدرمطلق ۷۲ بزرگ‌تر است و ۷۲ علامت منفی دارد:

پاسخ = منفی ۳۵

−۷۲ + ۳۷ = −۳۵

اشتباه رایج

بعد از محاسبه ۷۲ − ۳۷ بعضی دانش‌آموزان جواب را مثبت ۳۵ می‌نویسند.

فقط انجام تفریق کافی نیست؛ باید علامت عدد با قدرمطلق بزرگ‌تر را نیز بررسی کنید.

نکته طلایی

در −۷۲ + ۳۷ عدد ۷۲ از صفر فاصله بیشتری دارد؛ بنابراین علامت منفی «قوی‌تر» است و جواب منفی می‌شود.

روش دوم؛ ابتدا مثبت ۳۷ و منفی ۲۹

می‌توانیم از این قسمت شروع کنیم:

۳۷ + (−۲۹)

چون علامت‌ها متفاوت‌اند:

۳۷ − ۲۹ = ۸

پس عبارت ساده می‌شود:

−۴۳ + ۸

دوباره دو عدد مختلف‌العلامت داریم:

۴۳ − ۸ = ۳۵

قدر مطلق ۴۳ بزرگ‌تر است و علامت آن منفی است، بنابراین:

پاسخ = منفی ۳۵

روش سوم؛ حل از سمت چپ

راه دیگری هم وجود دارد.

ابتدا:

−۴۳ + ۳۷

قدر مطلق‌ها را کم می‌کنیم:

۴۳ − ۳۷ = ۶

چون ۴۳ بزرگ‌تر و منفی است:

−۴۳ + ۳۷ = −۶

حالا:

−۶ − ۲۹

یعنی:

−۶ + (−۲۹)

هر دو منفی هستند:

۶ + ۲۹ = ۳۵

بنابراین:

پاسخ = منفی ۳۵

هر سه روش به جواب یکسان می‌رسند.

آیا در جمع و تفریق می‌توان عددها را جابه‌جا کرد؟

اینجا باید به یک نکته مهم توجه کنیم.

تفریق خاصیت جابه‌جایی ندارد.

مثلاً:

۱۰ − ۳ = ۷

اما:

۳ − ۱۰ = −۷

پس نمی‌توانیم بدون توجه به علامت‌ها جای عددها را عوض کنیم.

اما اگر تفریق را به جمع عدد منفی تبدیل کنیم، مسئله فرق می‌کند:

۱۰ − ۳ = ۱۰ + (−۳)

حالا با یک عبارت جمع روبه‌رو هستیم و می‌توانیم از خاصیت‌های جمع استفاده کنیم.

نکته طلایی

هر وقت می‌خواهید اعداد یک عبارت را برای محاسبه سریع‌تر دسته‌بندی کنید، ابتدا تمام تفریق‌ها را به جمع عدد منفی تبدیل کنید.

کار در کلاس صفحه ۳ ریاضی هشتم

در این بخش کتاب از دانش‌آموز می‌خواهد حاصل عبارت‌ها را با روشی که برای خودش ساده‌تر است پیدا کند.

هدف این تمرین فقط رسیدن به جواب نیست. باید یاد بگیریم قبل از شروع محاسبات به عبارت نگاه کنیم و بهترین دسته‌بندی را پیدا کنیم.

عبارت اول؛ انتخاب عددهای نزدیک به هم

پس از ساده کردن علامت‌ها، عبارت به شکل زیر قابل بررسی است:

۱۷ + ۱۴ − ۱۳ − ۱۹

می‌توانیم آن را به صورت جمع اعداد علامت‌دار ببینیم:

۱۷ + ۱۴ + (−۱۳) + (−۱۹)

حالا به جای محاسبه طولانی، عددهای نزدیک به هم را کنار هم قرار می‌دهیم.

ابتدا:

۱۴ − ۱۳ = ۱

و:

۱۷ − ۱۹ = −۲

پس فقط داریم:

۱ + (−۲)

که برابر است با:

منفی ۱

چرا این روش ساده‌تر است؟

چون اختلاف ۱۴ و ۱۳ فقط یک واحد است و اختلاف ۱۹ و ۱۷ هم فقط دو واحد. بنابراین محاسبه ذهنی بسیار سریع انجام می‌شود.

اشتباه رایج

دانش‌آموز ممکن است هنگام جابه‌جا کردن اعداد، علامت منفی ۱۳ یا منفی ۱۹ را جا بگذارد.

نکته طلایی

عدد را همراه با علامتش جابه‌جا کنید.

یعنی −۱۹ یک عدد کامل است و نباید هنگام دسته‌بندی، منفی آن حذف شود.

عبارت دوم؛ ابتدا علامت‌ها را ساده کنید

در سؤال بعد، پس از ساده کردن پرانتزها و علامت‌ها به عبارت زیر می‌رسیم:

−۱۸ + ۴ + ۱۹

به جای شروع از سمت چپ، بهتر است منفی ۱۸ و مثبت ۱۹ را کنار هم قرار دهیم:

−۱۸ + ۱۹ = ۱

حالا:

۱ + ۴ = ۵

پس پاسخ:

۵

اشتباه رایج

بعضی دانش‌آموزان با دیدن چند پرانتز و علامت، بدون ساده کردن آن‌ها شروع به محاسبه می‌کنند و احتمال اشتباه بالا می‌رود.

نکته طلایی

قبل از هر محاسبه:

1. پرانتزها را بررسی کنید.
2. علامت نهایی هر عدد را مشخص کنید.
3. سپس عملیات را انجام دهید.

عبارت سوم؛ مثبت و منفی را درست تشخیص دهید

پس از ساده‌سازی، عبارت به شکل زیر درمی‌آید:

۷ − ۲ − ۹

می‌توانیم از سمت چپ حل کنیم:

۷ − ۲ = ۵

سپس:

۵ − ۹ = −۴

پس:

پاسخ = منفی ۴

چرا جواب منفی است؟

چون در مرحله آخر داریم:

۵ + (−۹)

قدر مطلق ۹ بزرگ‌تر از ۵ است و علامت آن منفی است.

نکته طلایی

اگر در جمع دو عدد مختلف‌العلامت مردد شدید، از خودتان بپرسید:

کدام عدد از صفر فاصله بیشتری دارد؟

علامت همان عدد، علامت جواب خواهد بود.

یک روش سریع برای عبارت‌های طولانی

فرض کنید پس از ساده کردن عبارت، عددهای زیر را داشته باشیم:

۱۰۰ − ۹۷ − ۲۴ − ۲۳

ابتدا دو عدد نزدیک را محاسبه می‌کنیم:

۱۰۰ − ۹۷ = ۳

حالا دو عدد منفی داریم:

−۲۴ − ۲۳

یعنی:

−۲۴ + (−۲۳) = −۴۷

پس عبارت به شکل زیر درمی‌آید:

۳ + (−۴۷)

قدر مطلق‌ها را کم می‌کنیم:

۴۷ − ۳ = ۴۴

چون ۴۷ مربوط به عدد منفی است:

پاسخ = منفی ۴۴

نکته طلایی

در عبارت‌های طولانی لازم نیست همیشه از سمت چپ جلو بروید. گاهی دو عدد نزدیک یا دو عدد قرینه می‌توانند محاسبه را بسیار کوتاه‌تر کنند.

بررسی عبارت ۱۰ + ۳ − ۷ − ۲

در بخش بعدی، دو روش برای محاسبه عبارت زیر ارائه شده و باید روش صحیح را تشخیص دهیم:

۱۰ + ۳ − ۷ − ۲

ابتدا می‌توانیم بنویسیم:

۱۰ + ۳ + (−۷) + (−۲)

حالا مثبت‌ها و منفی‌ها را دسته‌بندی می‌کنیم.

مثبت‌ها:

۱۰ + ۳ = ۱۳

منفی‌ها:

−۷ + (−۲) = −۹

در نتیجه:

۱۳ + (−۹) = ۴

پس پاسخ صحیح:

۴

چرا منفی ۷ منهای ۲ برابر منفی ۹ می‌شود؟

یکی از اشتباهات مهم همین سؤال این است که دانش‌آموز بنویسد:

−۷ − ۲ = −۵

این محاسبه نادرست است.

عبارت اصلی در واقع یعنی:

−۷ + (−۲)

هر دو عدد منفی هستند، بنابراین قدرمطلق‌ها با هم جمع می‌شوند:

۷ + ۲ = ۹

و علامت منفی حفظ می‌شود:

−۷ − ۲ = −۹

مثال ساده‌تر

اگر دمای هوا منفی ۷ درجه باشد و ۲ درجه دیگر سردتر شود، دما به منفی ۹ درجه می‌رسد، نه منفی ۵ درجه.

نکته طلایی

کم کردن یک عدد مثبت از یک عدد منفی، عدد را منفی‌تر می‌کند.

چگونه قبل از محاسبه راه ساده‌تر را پیدا کنیم؟

در ادامه صفحه ۳ ریاضی هشتم، هدف این است که قبل از انجام محاسبات به ساختار عبارت توجه کنیم.

گاهی ممکن است چند عدد تقریباً تمام محاسبه را برای ما انجام دهند.

برای مثال اگر در یک عبارت داشته باشیم:

−۴۰ − ۴۰ + ۸۰

ابتدا دو عدد منفی را جمع می‌کنیم:

−۴۰ − ۴۰ = −۸۰

حالا:

−۸۰ + ۸۰ = ۰

چون منفی ۸۰ و مثبت ۸۰ قرینه یکدیگر هستند.

بنابراین این قسمت از عبارت کاملاً حذف می‌شود و فقط کافی است عددهای باقی‌مانده را محاسبه کنیم.

اشتباه رایج

بعضی دانش‌آموزان از دیدن عبارت طولانی می‌ترسند و بلافاصله محاسبه را از اولین عدد آغاز می‌کنند.

نکته طلایی

قبل از نوشتن اولین جواب، چند ثانیه دنبال این سه حالت بگردید:

• دو عدد قرینه
• دو عدد نزدیک به هم
• چند عدد هم‌علامت که راحت با هم جمع می‌شوند

اولویت عملیات در صفحه ۳ ریاضی هشتم

در بعضی عبارت‌ها فقط جمع و تفریق نداریم و ضرب هم دیده می‌شود.

در این شرایط باید اولویت عملیات ریاضی رعایت شود.

برای نمونه، اگر عبارت شامل قسمت زیر باشد:

۳ × ۷

اول باید ضرب را انجام دهیم:

۳ × ۷ = ۲۱

اگر در همان عبارت −۲۱ نیز وجود داشته باشد:

۲۱ + (−۲۱) = ۰

این دو عدد یکدیگر را خنثی می‌کنند.

برای نمونه، در عبارتی مانند:

−۳۲ + ۳ × ۷ − ۲۱ + ۱۲

ابتدا ضرب را انجام می‌دهیم:

۳ × ۷ = ۲۱

پس:

−۳۲ + ۲۱ − ۲۱ + ۱۲

مثبت ۲۱ و منفی ۲۱ قرینه‌اند:

۲۱ − ۲۱ = ۰

در نتیجه فقط می‌ماند:

−۳۲ + ۱۲

قدر مطلق‌ها را کم می‌کنیم:

۳۲ − ۱۲ = ۲۰

چون ۳۲ بزرگ‌تر و منفی است:

پاسخ = منفی ۲۰

ترتیب عملیات را فراموش نکنید

به طور کلی ترتیب عملیات به این شکل است:

1. پرانتز
2. توان
3. ضرب و تقسیم
4. جمع و تفریق

عملیات هم‌اولویت معمولاً از چپ به راست انجام می‌شوند، مگر اینکه عبارت را به شکل معادل و با استفاده صحیح از خواص ریاضی بازنویسی کنیم.

اشتباه رایج

اگر قبل از ضرب، جمع یا تفریق را انجام دهید، ممکن است پاسخ کل عبارت تغییر کند.

نکته طلایی

قبل از شروع یک عبارت، اول دنبال علامت‌های ضرب و تقسیم بگردید.

تفاوت اعداد هم‌علامت و مختلف‌العلامت

یکی از مهم‌ترین بخش‌های این درس، تشخیص این دو حالت است.

اعداد هم‌علامت

مثال:

−۱۲ + (−۵)

هر دو منفی‌اند:

۱۲ + ۵ = ۱۷

پس:

−۱۲ + (−۵) = −۱۷

مثال مثبت:

۱۲ + ۵ = ۱۷

اعداد مختلف‌العلامت

مثال:

−۱۲ + ۵

قدر مطلق‌ها را کم می‌کنیم:

۱۲ − ۵ = ۷

چون قدرمطلق ۱۲ بزرگ‌تر و علامتش منفی است:

−۱۲ + ۵ = −۷

چند مثال ساده برای تمرین بیشتر

مثال ۱

−۶ + (−۴)

هر دو عدد منفی هستند:

۶ + ۴ = ۱۰

پس:

−۱۰

مثال ۲

۱۵ + (−۹)

مختلف‌العلامت:

۱۵ − ۹ = ۶

عدد بزرگ‌تر مثبت است:

۶

مثال ۳

−۲۰ + ۷

مختلف‌العلامت:

۲۰ − ۷ = ۱۳

عدد بزرگ‌تر منفی است:

−۱۳

مثال ۴

−۱۱ + ۱۱

دو عدد قرینه‌اند:

۰

مثال ۵

−۸ − ۶

آن را به شکل جمع می‌نویسیم:

−۸ + (−۶)

هر دو منفی:

۸ + ۶ = ۱۴

پس:

−۱۴

جمع‌بندی آموزش

در صفحه ۳ فصل اول ریاضی هشتم با جمع و تفریق اعداد صحیح، روش دسته‌بندی عددها و اولویت عملیات آشنا می‌شویم.

برای مرور سریع این چند قانون را به خاطر بسپارید:

• دو عدد هم‌علامت → قدرمطلق‌ها را جمع کنید.
• دو عدد مختلف‌العلامت → قدرمطلق‌ها را کم کنید.
• در مختلف‌العلامت‌ها → علامت عدد با قدرمطلق بزرگ‌تر را برای جواب قرار دهید.
• دو عدد قرینه → حاصل جمع صفر است.
• هنگام دسته‌بندی، عدد را همراه با علامتش جابه‌جا کنید.
• تفریق را می‌توان به جمع عدد منفی تبدیل کرد.
• تفریق به صورت مستقیم خاصیت جابه‌جایی ندارد.
• قبل از محاسبه، علامت‌ها و پرانتزها را ساده کنید.
• ضرب و تقسیم نسبت به جمع و تفریق اولویت بیشتری دارند.
• در عبارت‌های طولانی دنبال عددهایی باشید که محاسبه آن‌ها با هم ساده‌تر است.

اگر این چند قانون را خوب یاد بگیرید، بیشتر تمرین‌های مربوط به جمع و تفریق اعداد صحیح در ریاضی هشتم بدون حفظ کردن روش‌های پیچیده قابل حل خواهند بود.

سوالات متداول دانش‌آموزان

۱. جواب عبارت منفی ۴۳ به‌علاوه ۳۷ منهای ۲۹ چیست؟

جواب منفی ۳۵ است. می‌توان ابتدا منفی ۴۳ و منفی ۲۹ را جمع کرد و سپس مثبت ۳۷ را با حاصل جمع کرد.

۲. چرا منفی ۷ منهای ۲ برابر منفی ۹ می‌شود؟

زیرا −۷ − ۲ برابر با −۷ + (−۲) است. دو عدد منفی هم‌علامت هستند، بنابراین ۷ و ۲ را جمع می‌کنیم و علامت منفی را نگه می‌داریم.

۳. وقتی یک عدد مثبت و یک عدد منفی داریم چه کار کنیم؟

قدر مطلق عدد کوچک‌تر را از قدر مطلق عدد بزرگ‌تر کم کنید. علامت جواب نیز علامت عددی است که قدر مطلق بزرگ‌تری دارد.

۴. آیا در جمع و تفریق اعداد صحیح می‌توان جای عددها را عوض کرد؟

جمع خاصیت جابه‌جایی دارد، اما تفریق مستقیماً جابه‌جایی‌پذیر نیست. بهتر است ابتدا تفریق را به جمع عدد منفی تبدیل کنید و سپس عددها را همراه با علامتشان دسته‌بندی کنید.

۵. چرا مثبت ۲۱ و منفی ۲۱ با هم صفر می‌شوند؟

چون این دو عدد قرینه یکدیگر هستند و قدر مطلق برابر ولی علامت مخالف دارند. بنابراین ۲۱ + (−۲۱) = ۰.

۶. در عبارتی که ضرب و جمع دارد، کدام را اول انجام دهیم؟

طبق اولویت عملیات، ضرب و تقسیم قبل از جمع و تفریق انجام می‌شوند.

۷. بهترین روش برای حل عبارت‌های طولانی اعداد صحیح چیست؟

ابتدا علامت‌ها را ساده کنید، سپس عددهای قرینه یا عددهایی که اختلاف کمی دارند کنار هم قرار دهید. این کار معمولاً تعداد محاسبات را کاهش می‌دهد.

آموزش ریاضی هشتم فصل اول