جواب صفحه 5 ریاضی هشتم فصل اول (مرور اعداد صحیح)

پیدا کردن اعداد صحیح بین دو عدد

وقتی گفته می‌شود «اعداد صحیح بین دو عدد را بنویسید»، منظور فقط اعدادِ داخل آن بازه است؛ خودِ دو عدد ابتدا و انتها در جواب نمی‌آیند.

مثال: اعداد صحیح بین 3 و 5-

روی محور اعداد حرکت می‌کنیم و همه‌ی اعداد صحیح بین این دو عدد (بدون خود 3 و 5-) را می‌نویسیم:

{−4,−3,−2,−1,0,1,2}\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2\}{−4,−3,−2,−1,0,1,2}

اعداد صحیح کوچک‌تر یا بزرگ‌تر از یک عدد

کوچک‌تر از 4-

وقتی می‌گویند «اعداد صحیح کوچک‌تر از 4-»، یعنی به سمت اعداد منفیِ بزرگ‌تر (منفی‌تر) حرکت کنید؛ خودِ 4- در جواب نمی‌آید:

…,−7,−6,−5\dots, -7, -6, -5…,−7,−6,−5

یعنی مجموعه از منفی بی‌نهایت شروع می‌شود و تا 5- ادامه پیدا می‌کند.

بزرگ‌تر از 3-

وقتی می‌گویند «اعداد صحیح بزرگ‌تر از 3-»، یعنی به سمت اعداد مثبت حرکت کنید؛ خودِ 3- در جواب نمی‌آید:

−2,−1,0,1,2,…-2, -1, 0, 1, 2, \dots−2,−1,0,1,2,…

یعنی مجموعه از 2- شروع می‌شود و تا بی‌نهایت ادامه دارد.

نکته مهم: کلمه‌ی «بین» و «کوچک‌تر/بزرگ‌تر از» همیشه به این معناست که خودِ عددهای مرزی در جواب نمی‌آیند. این رایج‌ترین اشتباه دانش‌آموزان در این نوع سؤال است.

تفاوت عدد طبیعی و عدد صحیح

• اعداد طبیعی از 1 شروع می‌شوند و فقط اعداد مثبت صحیح را شامل می‌شوند (1، 2، 3، …). عدد صفر و اعداد منفی جزء اعداد طبیعی نیستند.
• اعداد صحیح شامل همه‌ی اعداد طبیعی، صفر، و قرینه‌ی (منفیِ) اعداد طبیعی هستند. شرط اصلی این است که عدد کسری یا اعشاری نباشد و دقیقاً «یک واحد یک واحد» باشد.
• هر عدد طبیعی، خودبه‌خود یک عدد صحیح هم هست؛ اما هر عدد صحیح لزوماً طبیعی نیست (مثلاً 5- صحیح است ولی طبیعی نیست).

برای تشخیص سریع‌تر، چند نمونه را با هم بررسی می‌کنیم:

نکته درباره‌ی رادیکال: فقط اعدادی که زیر رادیکال «جذر کامل» دارند (مثل 4\sqrt{4} 4​، 9\sqrt{9} 9​، 25\sqrt{25} 25​) نتیجه‌شان عدد صحیح می‌شود. اگر عدد زیر رادیکال جذر کامل نداشته باشد (مثل 5\sqrt{5} 5​ یا 7\sqrt{7} 7​)، نتیجه عدد صحیح نیست.

اولویت عملیات (چهار عمل اصلی)

در محاسبه‌ی عبارت‌های چندمرحله‌ای، این ترتیب رعایت می‌شود:

1. ابتدا داخلی‌ترین پرانتز محاسبه می‌شود و سپس به ترتیب پرانتزهای بیرونی‌تر.
2. سپس ضرب و تقسیم (از چپ به راست).
3. در آخر جمع و تفریق (از چپ به راست).

اگر در یک عبارت فقط جمع و تفریق وجود داشته باشد، ترتیب گرفتن جمله‌ها با شماست؛ می‌توانید جمله‌هایی را که راحت‌تر ساده می‌شوند اول با هم جمع بزنید، چون نتیجه‌ی نهایی تغییر نمی‌کند.

مثال:

−8+7−6+8−7+6-8 + 7 – 6 + 8 – 7 + 6−8+7−6+8−7+6

به‌جای محاسبه‌ی پشت‌سرهم، جمله‌های مشابه را با هم جفت می‌کنیم:

• −8+8=0-8 + 8 = 0 −8+8=0
• 7−7=07 – 7 = 0 7−7=0
• −6+6=0-6 + 6 = 0 −6+6=0

نتیجه‌ی نهایی: 0

این روش (جفت کردن جمله‌های هم‌ارزش) محاسبات را خیلی ساده‌تر و سریع‌تر می‌کند.

یادآوری قانون علامت در ضرب و تقسیم:

• علامت‌های یکسان (مثبت×مثبت یا منفی×منفی) → نتیجه مثبت
• علامت‌های مختلف (مثبت×منفی یا منفی×مثبت) → نتیجه منفی

پاسخ سؤالات تکمیلی

چرا 998 و نه 999؟ چون سؤال عدد زوج سه‌رقمی می‌خواهد. بزرگ‌ترین عدد سه‌رقمی 999 است، اما فرد است؛ عدد قبل از آن یعنی 998 هم سه‌رقمی است و هم زوج، پس جواب همان است.

مربع وفقی (جدولی که جمع سطر، ستون و قطرش برابر باشد)

در این نوع تمرین، جمع هر سطر، هر ستون و هر قطر باید با هم برابر باشد. روش حل کلی:

1. اگر عددی برای مجموع به شما داده نشده، از روی سطر یا ستونی که بیشترین تعداد خانه‌ی پر را دارد، مقدار مجموع را پیدا کنید.
2. با استفاده از این مجموع، خانه‌های خالی هر سطر و ستون را یکی‌یکی محاسبه کنید.
3. در پایان، جمع قطرها را هم بررسی کنید تا مطمئن شوید همه‌چیز با هم سازگار است.

⚠️ نکته برای ویرایش: مقادیر عددیِ دقیق خانه‌های این جدول در فایل صوتی به‌خاطر تشخیص گفتار به‌درستی ضبط نشده بودند (اعداد به‌صورت حروف نامفهوم ثبت شده‌اند). پیشنهاد می‌شود قبل از انتشار، این بخش را با تصویر واقعی صفحه‌ی کتاب یا ویدئو مطابقت دهید تا اعداد جدول صد‌درصد درست درج شوند.

جمع‌بندی

نکته‌ی کلیدی صفحه ۵ این است که «بین»، «کوچک‌تر از» و «بزرگ‌تر از» همیشه بدون خودِ عدد مرزی محاسبه می‌شوند، و مرز اصلی بین عدد طبیعی و عدد صحیح، وجود صفر و اعداد منفی است. رعایت اولویت عملیات هم در محاسبات چندمرحله‌ای وقت شما را کم می‌کند و از اشتباه جلوگیری می‌کند.

FAQ:

۱. فرق عدد طبیعی و عدد صحیح چیست؟ عدد طبیعی از 1 شروع می‌شود و فقط اعداد مثبت صحیح را شامل می‌شود؛ عدد صحیح علاوه بر اعداد طبیعی، صفر و اعداد منفی صحیح را هم شامل می‌شود.

۲. آیا صفر عدد طبیعی است؟ خیر، صفر جزء اعداد طبیعی نیست، اما جزء اعداد صحیح هست.

۳. چرا در «اعداد صحیح بین دو عدد» خودِ آن دو عدد نوشته نمی‌شود؟ چون کلمه‌ی «بین» به معنای داخل بازه است، نه شامل مرزها؛ مرزها فقط برای مشخص کردن محدوده استفاده می‌شوند.

۴. اولویت پرانتز، ضرب/تقسیم و جمع/تفریق چگونه است؟ اول داخلی‌ترین پرانتز، سپس ضرب و تقسیم از چپ به راست، و در آخر جمع و تفریق از چپ به راست.

• آموزش ریاضی هشتم از صفر