حل فعالیت صفحه ۴ کتاب ریاضی پایه هشتم یکی از مهم‌ترین بخش‌های فصل اول است؛ زیرا علاوه بر آموزش محاسبات پایه‌ای عددهای صحیح، مفاهیم خلاقانه و پرتکرار امتحانی مانند «روش جمع گاوس» را به دانش‌آموزان معرفی می‌کند. در ادامه، تمامی سوالات این فعالیت را به صورت مرحله‌به‌مرحله و همراه با نکات کلیدی بررسی می‌کنیم.

۱. داستان جمع اعداد ۱ تا ۱۰۰ و روش ابتکاری گاوس

سوال نخست این فعالیت به یکی از معروف‌ترین مسائل تاریخ ریاضیات و ابداع دانشمند بزرگ، کارل فریدریش گاوس، اشاره دارد. مسئله از این قرار است که حاصل عبارت زیر را بدون محاسبه تک‌به‌تک به دست آوریم:

نحوه محاسبه به روش گاوس:

1. جفت کردن اعداد از طرفین: عدد اول را با عدد آخر جمع می‌کنیم:

   $$1 + 100 = 101$$

   سپس عدد دوم را با یکی مانده به آخر جمع می‌کنیم:

   $$2 + 99 = 101$$

   همین الگو را ادامه می‌دهیم:

   $$3 + 98 = 101$$

2. تعداد جفت‌ها: در مجموع ۱۰۰ عدد داریم که اگر آن‌ها را دو به دو جفت کنیم، ۵۰ جفت حاصل می‌شود.

3. محاسبه حاصل کل: با ضرب تعداد جفت‌ها در حاصل هر جفت، جواب نهایی به دست می‌آید:

   $$50 \times 101 = 5050$$

۲. محاسبه زنجیره‌ای عددهای صحیح دو به دو

در این بخش، عبارت زیر برای محاسبه ارائه شده است:

برای حل آسان، اعداد را به صورت دو به دو دسته‌بندی و ساده می‌کنیم:

• $(-2 + 4) = +2$

• $(-6 + 8) = +2$

• $(-10 + 12) = +2$

در نهایت مقادیر به دست آمده را جمع می‌کنیم:

۳. ضرب پرانتزهای متوالی و پیدا کردن پرانتز صفر

عبارت بعدی شامل ضرب چندین پرانتز پشت سر هم است:

نکته کلیدی حل:

در این عبارت، عدد اول هر پرانتز یکی‌یکی کم می‌شود تا به اعداد منفی برسد. بنابراین در میان این پرانتزها، حتماً عبارت $(1 – 1)$ قرار دارد.

• حاصل پرانتز $(1 – 1) = 0$ است.

• حاصل‌ضرب عدد صفر در هر عدد یا عبارت دیگری برابر با صفر می‌شود.

بنابراین حاصل کل عبارت بدون نیاز به انجام محاسبات پیچیده، برابر با ۰ است.

۴. قرار دادن علامت‌ها و مرتب‌سازی حاصل از کوچک به بزرگ

برای پر کردن جای خالی عبارت‌ها با علامت‌های مثبت (+) یا منفی (-)، ۴ حالت مختلف ممکن است:

• حالت اول (هر دو مثبت):

  $$-3 + (+7) + (+2) = -3 + 7 + 2 = +6$$

• حالت دوم (هر دو منفی):

  $$-3 + (+7) – (+2) = -3 + 7 – 2 = +2$$

• حالت سوم (اولی مثبت، دومی منفی):

  $$-3 + (+7) – (+2) = -3 + 7 – 2 = +2$$

• حالت چهارم (اولی منفی، دومی مثبت):

  $$-3 – (+7) + (+2) = -3 – 7 + 2 = -10 + 2 = -8$$

مرتب‌سازی اعداد به دست آمده از کوچک به بزرگ:

۵. ترفند به دست آوردن بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین مقدار ممکن

برای اینکه حاصل یک عبارت با جایگذاری علامت بیشترین یا کمترین مقدار شود، از قاعده ضرب علامت‌ها استفاده می‌کنیم:

• برای رسیدن به بزرگ‌ترین مقدار: باید تلاش کنیم تمام جملات پس از ضرب علامت، مثبت ($+$) شوند.

  نکته تستی: علامت پشت پرانتز را دقیقاً هم‌علامت با عدد داخل پرانتز انتخاب کنید (منفی در منفی $=$ مثبت / مثبت در مثبت $=$ مثبت).

• برای رسیدن به کوچک‌ترین مقدار: باید جملات را به سمت اعداد منفی تر ببریم.

  نکته تستی: علامت پشت پرانتز را قرینه علامت داخل پرانتز انتخاب کنید (مثبت در منفی $=$ منفی).

مثال فعالیت:

برای عبارت $-5 \ \square\ (-6) \ \square\ (+3) \ \square\ (-9)$ جهت کسب بزرگ‌ترین مقدار:

• چون پشت $-5$ علامتی نیست، خودش می‌ماند: $-5$

• برای $-6$ علامت منفی می‌گذاریم: $-(-6) = +6$

• برای $+3$ علامت مثبت می‌گذاریم: $+(+3) = +3$

• برای $-9$ علامت منفی می‌گذاریم: $-(-9) = +9$

محاسبه نهایی:

FAQ:

• فرمول گاوس برای جمع اعداد ۱ تا ۱۰۰ چیست؟

  فرمول گاوس از حاصل‌ضرب تعداد جفت‌اعداد در مجموع عدد اول و آخر به دست می‌آید؛ یعنی $50 \times 101 = 5050$.

• چرا حاصل‌ضرب پرانتزهای متوالی سوال صفحه ۴ صفر می‌شود؟

  چون در روند کاهش اعداد پرانتزها، پرانتز $(1 – 1)$ ظاهر می‌شود که مقدار آن صفر است و ضرب هر عددی در صفر برابر با صفر خواهد بود.

• چگونه بزرگ‌ترین مقدار یک عبارت جبری شامل علامت را پیدا کنیم؟

  باید علامت‌های انتخابی را طوری قرار دهید که پس از ضرب در علامت عدد، حاصل مثبت شود (انتخاب علامت مشابه برای ضرب منفی در منفی یا مثبت در مثبت).

• آموزش ریاضی هشتم از صفر